第二百三十七章：无穷多个无穷

    “我了个去，印度大巴吗这是？！”

    “但经理又继续向鲍勃介绍他的无限旅馆，说这种旅馆不仅仅可以继续接受像鲍勃这样一个一个来报到的新客人，即使是一次来了‘无限多’个的客人，只要是可数可编号，他也有办法让他们住进来……”

    “可以呀！有点意思……”此时男主也不吐槽理论本身了，就干脆安安分分地继续听。

    “对无限多个新客人，经理将原来1号房间的客人移到2号房间，2号房间的客人移到4号房间，3号房间的客人移到6号房间，也就是说，将原来第n号房间的客人移到第2n号房间去……这样移动的结果将会空出所有的奇数号码的房间，也就是无限多个房间，这样便能住下无限多新来的客人了。”

    “这个……哦，我懂了，我好像曾经听说过奇数、偶数，还有全体自然数的个数是一样多的，也是因为你之前所说的一一对应的关系，‘部分少于整体’这种理论在无穷集合的数学理论中竟然不一定是正确的了。”

    “没错，而且还可以继续下去，这时外面又同时来了无限多辆大巴，而每辆大巴都载了无限多个客人，但经理也依然有办法解决他们的住房问题……”

    “啊？这可又怎么弄啊？”尹浩眼中闪过一丝慌乱。

    “也是在这时，经理的电话铃响了，原来是他的老板提醒他，说是对于‘无穷多’辆车，每辆车还有‘无穷多’个人的这种情况，就稍微不是那么好办了，要加上一些条件：这些人要是可数的，预先按座位进行编号。于是，经理眨眨眼睛，继续向鲍勃继续解释道：‘这无穷大的学问很大，无限大可以进行分类，是用‘势’来比较大小，所有的东西给你解释一天也解释不完啊！’不过对于无限个大巴且每个大巴有无限客人倒是不难解决，经理又让原来的旅客1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……n号房间客人搬到2n号。这样，跟前面一样1号，3号，5号……所有奇数房间就都空出来了。”

    “但然后呢？这次可是无穷多个无穷多啊！”

    “这也不难啊！不过只是用到乘法的增长率罢了。经理再把所有大于2的质数取出来，因为质数的数量也是无穷的嘛！再把第一辆大巴用第一个大于2的质数，也就是3代替，所以第一个客人安排到3号房间，而第二个客人安排到3的2次方，也就是9号房间，第二个客人安排到3的3次方，也就是27号房间，以此类推，第n个客人安排到3的n次方号的房间。然后把第二辆大巴用第二个大于2的质数，也就是5代替，所以第一个客人安排到5号房间，而第二个客人安排到5的2次方，也就是25号房间，第二个客人安排到5的3次方，也就是125号房间，以此类推，第n个客人安排到5的n次方号的房间。接着第二辆大巴用第三个大于2的质数，也就是7代替，所以第一个客人安排到7号房间……剩下的你也应该知道怎么操作了吧？”

    “我了个天……所有大于2的质数确实都是奇数，他也刚好把奇数号码全空出来了，而那些奇质数的幂运算结果也都是奇数，并且因为是质数，所以这些质数的幂运算也都不会相等，那就刚刚好又能一一对应了。妙哇，妙哇……”男主这下是彻底服了，心想这个旅馆的经理和老板原来都是数学家啊！

    “另外，经理还说了一种办法。还能够通过客车的车牌号与客人的座位号来解决这一问题。先将旅馆设为第0号客车，然后将车牌号与座位号交替书写，即能得到客人的房间号码。如果客人是在1729号房间则移动到01070209号房间，如果客人是在198号客车上的4935座则移到第4199385号房间。”

    “数学强者，果然是恐怖如斯！”男主恍然大悟地倒吸一口热气。

    “于是乎呢鲍勃也想起了数学，才记起历史上有个名字叫做希尔伯特的大数学家，好像有个什么旅馆悖论以他命名，鲍勃说：‘这是不是叫做希尔伯特悖论啊？’经理说：‘是有这么个说法，但这并不是什么悖论，数学逻辑上并无矛盾之处。只是充分说明了无限集合的性质与有限集合的性质完全不相同。’鲍勃想起了著名的芝诺悖论，认为数学家都喜欢狡辩，不过鲍勃也喜欢狡辩，他对经理说：‘你这个‘无限’，不过是个数学上的概念，它与事实是不符合的。你看，你这个旅馆占地面积有限，怎么可能容纳下无限多个房间呢？就算不是逻辑上的悖论，也可算是一个与实际情况不相符合的‘佯谬’吧？’经理哈哈大笑：‘你又错了吧，占地面积虽然有限，往空中可是能无限发展啊……不管怎么样，赶快去你的1号房间休息吧！……”

    “那这就可不对了，房屋结构强度，还有宇宙大小其实也是有限的啊！真的要纠结真实性的话，首先根本就不可能有无限多的人啊！”

    “没错，就像我之前所说的，过去的现实物理世界中并不可能存在无穷大。而且鲍勃最近在学校也刚好修了一门很难的物理课，老师讲到‘狄拉克海’。鲍勃记起那位教授当时对真空狄拉克海的描述和这儿的无限旅馆永远能接受新客人的概念有某些类似的地方。鲍勃好像有所感悟，无限大集合加上一些元素，还是无限大集合。‘狄拉克海’就是这么一个无限大的电子海洋，加上几个电子，减少几个电子，丝毫不影响这个无限大真空的性质。鲍勃躺到床上，迷迷糊糊进入梦乡，脑袋中还在转悠着‘有限’、‘无限’……好了，到这里我就基本讲完了，这个故事有没有给你什么启发？”

    “启发倒是还好，我就是在想啊，这一问题虽然被鲍勃称作‘悖论’，但事实上它并不矛盾，而仅仅是与我们直觉相悖而已。在有无限个房间时，‘每个房间都客满’与‘无法入住新的客人’两者其实并不等价。”

    “是的，无限集合的性质与有限集合的性质并不相同。对于拥有有限个房间的旅馆，其奇数号房间的数量显然总是小于其房间总数的。然而，在希尔伯特所假想的这一旅馆中，奇数号房间数与总房间数是相同的。在数学上可以表述为包含所有房间的集合的势与包含所有奇数号房间的子集的势相同。事实上，无限集合都拥有这样的特点，所有无限集合都与它的某些子集的势相同。对于可数集，不管是奇数、偶数、质数、自然数，以及自然数之比，其势记都可以记为……”

    “阿列夫零？”尹浩瞬间就想起了那天晚上查找《乌合之众象棋》资料时，里面确实提到的这个东西，联系到“硅脑袋”这番故事的讲解，他便瞬间豁然开朗了，但转瞬之间又再次被迷云笼罩：“那后面我记得她还有说什么阿列夫一，阿列夫二呢？又指代什么？”

    “这些我先不详细展开，就简单告诉你吧！阿列夫一可以指代任意区间或数轴上的所有实数，也可以指代任意长度或点线面体中所有点的数量，这些都是不可数的，自然就远远多于阿列夫零，势也就更高。”

    “这个就没办法一一对应了吗？有自然数之比去对应所有实数？”

    “不是没办法是真的不行，先不说更号2，圆周率这些无限不循环小数无法用整数比去构建了。不论你如何构造一个小数，我都可以一位一位去对，就是跟你不一样而得到一个你那串里没有出现的小数，所以无理数的‘无限大’实际上也比分数的无限大要大。”

    “这样啊……就是对于已有的数字找茬抬杠嘛！那阿列夫二呢？”尹浩似乎找到了一个杠能抬一抬。